パップスの中線定理の拡張に関するメモ
三角形がらみのある線分の長さを求める問題は,センター試験などでも頻繁に出題されるもののひとつですが,そこで知っておくとよい定理として,パップスの定理(中線定理)というものがあります。
証明法はいくつかありますが,余弦定理によるものは後の拡張のときのためにとっておいて,まずは三平方の定理を用いて証明してみます。
(証明)
頂点から辺上におろした垂線の足をとする(図のように点の右側にあるとしても,一般性を失わない)。
において三平方の定理より
においても同様に
(1), (2)を辺々足して
ところで,
したがって
において三平方の定理より,
ゆえに
■
ここから本題です。
この定理における点を,中点の場合だけでなく,辺上の任意の分点に拡張すると,以下のようになります。
(証明)
とすると,
において余弦定理より
また,においても同様に
よって
ここでからであるから,
■
さきの中線定理の等式や余弦定理による証明の流れは,この定理においてとしたときの形となります。
最後に,例題でその効果を試してみます。
問.
のにおいて,辺をに分ける点をとするとき,線分の長さを求めよ。
よって
(解2:中線定理の拡張定理を用いて)