マクローリン展開を用いたバーゼル問題の解法に関するメモ(その1)

まず， $(1+x)^{\alpha}\; (|x|<1)$ をマクローリン展開する。

$(1+x)^{\alpha}$ の導関数はいずれも $x=0$ のとき1になるから，

$(1+x)^{\alpha}= \alpha+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}x^{2}+\frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{3!}x^{3}+ \cdots$
$=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}x^{n} .$

（剰余項は0に収束するおなじみの形）

$\alpha$ が自然数のとき，この式は二項定理の展開式そのものである。 $\alpha$ が自然数でないときは無限級数となり，二項定理における指数を実数（実は複素数でもok.）の範囲に拡張したものと考えることができる。

Combinationはもともと組合せの演算子なので，上式における係数を

$\begin{pmatrix} \alpha \\ n \end{pmatrix} =\frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha-n+1)}{n!}$

と表す。すると，上の式は

$(1+x)^{\alpha}= 1+ \begin{pmatrix} \alpha \\ 1 \end{pmatrix} x + \begin{pmatrix} \alpha \\ 2 \end{pmatrix} x^{2} + \cdots$
$=\sum_{n=0}^{\infty}\begin{pmatrix} \alpha \\ n \end{pmatrix} x^{n}$

となる。

これを用いて， $\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=(1-x^{2})^{-\frac{1}{2}}$ をマクローリン展開すると

$\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ 2 \end{pmatrix} = \frac{-\frac{1}{2}(-\frac{3}{2})}{2} = \frac{1\cdot 3}{2\cdot 4} ,$
$\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ 3 \end{pmatrix} = \frac{-\frac{1}{2}(-\frac{3}{2})(-\frac{5}{2})}{3!} = -\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6} ,$

$\cdots$

よって

$\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}= 1+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1\cdot 3}{2\cdot4}x^{4}+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}x^{6}+\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}x^{8} + \cdots$

得られた式を項別積分すると，

$\textrm{Arcsin}x = x+\frac{1}{2}\cdot \frac{x^{3}}{3}+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\cdot \frac{x^{5}}{5}+ \frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\cdot \frac{x^{7}}{7} +\cdots$

となる。 $x$ に適当な有理数を代入すれば， $\pi$ の近似値を直接計算することもできる。

次回はこのArcsinの級数展開を用いてバーゼル問題に取り組んでみる。

補遺として $\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ と $\textrm{Arcsin}x$ の関係について確認しておく。

まず $y=\textrm{Arcsin}x$ の導関数は

$y=\textrm{Arcsin}x\Longleftrightarrow x=\textrm{sin} y \; \Bigl( -\frac{\pi}{2}\leq y\leq \frac{\pi}{2}\Bigr)$
$\frac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}=\textrm{cos}y=\sqrt{1-\textrm{sin}^{2}y}=\sqrt{1-x^{2}}$
$\therefore \frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\frac{1}{\frac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} .$

逆に， $\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ の原始関数を積分で求めるならば， $x=\textrm{sin}\theta$ とおけば， $\theta =\textrm{Arcsin}x$ が得られる。