2018年センター試験数学I・A を解いてみたその8【第4問】

問題は下記を参照してください。

大学入試センター試験（2018年度）問題・解答速報 - 毎日新聞

第 4 問｢整数｣です。これまでどのジャンルにも属していなかった感じの内容が，今回の指導要領で 1 つの独立した単元となった格好です。大学入試問題を見ると，整数はかなり幅広い題材が扱われている感じを受けますが，センター試験としては出題内容はある程度限られているようです。

※今までもそうでしたが，特に今回の整数では TeX の式と，直接打ち込んだ式とを混用します。読みづらい箇所があると思いますが，ご了承ください。

(1) 144の素因数分解。超基本です。どのように分解してもよいですが， $144=12^2$ がわかっていれば， $144=12^2=(2^2 \times 3)^2=2^4 \times 3^2$ とやるのがベターでしょうか。

素因数分解ができたら，そこから正の約数の個数がわかります。これもほぼ知識があるかどうかだと思いますが，正の約数は各素因数の指数の組合せで表されるので，素因数 2 の指数が 0～4 の 5 通り，素因数 3 の指数が 0～2 の 3 通りで，正の約数は 3×5＝15個となります。

(2)1 次不定方程式です。これも解法をおさえていれば，そのまま解けばよいです。まず解の組を 1 つ見つけるわけですが，はじめの設問はその手助けです。かえって惑わされる人もいそうですが。センターならではの見方をすれば，x が 1 桁なので，自然数を１から順に試していけばよさそうです。むしろ出題者側がこの特性を利用して，難易度が下がるように仕組んだ感じもします。

解はすぐに見つかって，x=2，y=41 です。y の係数が 7 なので一見見つけにくそうですが，144 の上 2 桁が 7 の倍数なので，一の位だけ見ればよいのです。4 の倍数で，7 で割って 1 余るのは 4×2=8 のときです。

これをもとに一般解を求めていきましょう。最終形を知っていれば一気に答えを出せますが，解法を順番に見ていきます。

方針の確認です。右辺を 0 にすれば，x, y が何の倍数であるかがわかります。もとの方程式から，いま見つけた解を代入した式を引きます。

$144x-7y=1$ …①

$144\cdot 2 -7\cdot 41 =1$ …②

①－②より

$144(x-2)-7(y-41)=0$

移項して

$144(x-2)=7(y-41)$

144 と 7 は互いに素であるから（これ重要），x-2 は 7 の倍数，y-41 は 144 の倍数となります。これを式で表して（k は整数）

$x-2=7k, \; y-41=144k$

最後に定数を移項すれば

$x=7k+2, \; y=144k+41$

となり，すべての整数解が表せます。

(3)「144 の倍数で，7 で割ったら 1 となる自然数」というのは，前問の不定方程式 $144x-77y=1$ の解から， $144 \times (7k+2)$ （ $k$ は整数）であることを読み取ります。そのうち，正の約数の個数が 18 個であるものを探します。(1) と同様に，素因数分解した形で各素因数の指数に着目します。144 にかける自然数を $x=m^p$ とおくと，

$144x=2^4 \times 3^2 \times m^p$ であり，正の約数の個数が 18個となるには， $m=2, p=1$ でなければなりません。このとき， $144 \times 2 = 2^5 \times 3^2$ であり，指数から正の約数の個数は $(5+1)\; (2+1) =18$ となります。

次に正の約数が 30 個の場合を求めます。私も少し試行錯誤しました。指数の方から攻めると，たとえば $x=2^5$ で約数は $(9+1)\;(3+1)=30$ 個になりますが， $144 \times 2^5 \equiv 4 \times 4 \equiv 2 \; (\rm{mod}7)$ で，7 で割った余りは 1 になりません。 $x=3^3$ や $x=2^1 \times 3^2$ もダメです。

となると，素因数 2，3 の指数を増やして 30 をつくっても，7 で割って余り 1 になる数にならないことになります。ということは，m は 2，3 以外の素因数からなっていて，しかも 144 の時点で約数は 15 個あるので，指数は 1 ，すなわち「x は 2，3 以外の素数である」ということが導けます。

これと (2) で求めた不定方程式の解 $x=7k+2$ と照らし合わせて， $k=3$ のとき $x=23$ という素数が見つかります。確かに， $144\times 23 \equiv 4 \times 2 = 8 \equiv 1 \; (\rm{mod} 7)$ となります。