2018年センター試験数学I・A を解いてみたその7【第3問】

第 3 問から出題内容は数学 A になります。第 3 問～第 5 問はそれぞれ「場合の数と確率」「整数の性質」「図形の性質」で，この中から 2 題を選択する形式です。順番通り今回は第 3 問「場合の数と確率」をやっていきます。問題は下記からどうぞ。

大学入試センター試験（2018年度）問題・解答速報 - 毎日新聞

昨年に比べると，3 つの事象を扱っているのは同じですが，2 つの事象ごとに考えていけばよく，確率の乗法公式が理解できていればやや易しめかな，という印象です。

まず(1)は 3 つの事象の確率をそれぞれ求めます。高校入試レベルですので確実に。

事象 A は，大きいさいころの目は 4 に固定で，それに小さいさいころの目が１～6 まで対応するので，6通りです。よって $\displaystyle P(A)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$ ．

事象 B は，具体的に組合せを数え上げましょう。和が 7 になる組合せは (1, 6), (2, 5), (3, 4) で，入れ替えたものも考えて 6通りです。よってこれも $\displaystyle P(B)=\frac{1}{6}$ ．

事象 C も同様です。和が 9 になる組合せは (3, 6), (4, 5) で，大小の入れ替えを考えて 4 通りなので， $\displaystyle P(B)=\frac{1}{9}$ ．

マークはア：1，イ：6，ウ：1，エ：6，オ：1，カ：9 となります。

(2)は条件付き確率を求める問題です。意味不明な式があったな，あ～無理とかいう人がいますが，ここでは時系列に沿って具体的に組み合わせを数えればよいのです。

「C が起こったときの A が起こる条件付き確率」ということは，まず C であることが前提になっています。よって，さいころの目は（大，小）＝(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3) の 4 通りの中だけで考えればよいのです。このうち，A が起こるということなので，大きいさいころが 4 の目であるのは，(4, 5) の 1 通りで，確率は $\displaystyle \frac{1}{4}$ となります。

また，「A が起こったときの C が起こる条件付き確率」は，今度は A であることが前提となります。大きいさいころの目が 4 という 6 通りの中で考えます。和が 9 になるのは，(4, 5) の 1 通りなので，確率は $\displaystyle \frac{1}{6}$ となります。

キ：1，ク：4，ケ：1，コ：6 です。

次は条件付き確率を式で求める際の準備となります。形式的には事象の独立と従属ということで，数学 B で扱うべきものですが，内容は積事象の確率と確率の積との区別ができるかどうかというところです。

どちらの式も，右辺は(1)で求めた確率をそのまま代入すればよいです。

$\displaystyle P(A)P(B)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$

$\displaystyle P(A)P(C)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{9}=\frac{1}{54}$

問題は左辺で，積事象の意味をきちんと理解していなくてはなりません。A かつ B を直接考えようとすると難しいので，乗法公式を利用します。

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P_{A}(B)$ というやつです。 $P_{A}(B)$ は「A が起こったときの B が起こる条件付き確率」なので，事象 A の 6 通りのうち (4, 3) の 1 通り，確率は $\displaystyle P_{A}(B)=\frac{1}{6}$ です。よって

$\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\cdot P_{A}(B)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$

したがって $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ であることがわかります。

同様に， $P_{A}(C)$ は(2) で求めてあるので

$\displaystyle P(A\cap C)=P(A)\cdot P_{A}(C)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$

したがって $P(A\cap C)\gt P(A)P(C)$ となります。

サ：1，シ：2 です。

(4) は求める確率を小分けにしていくとよいです。

「1 回目に事象 $P(A\cap B)$ が起こり」の部分は (3) で求めました。「2 回目に事象 $P(\bar{A}\cap C)$ が起こる確率を求めます。(3) と同様に，乗法公式を用いて

$\displaystyle P(\bar{A}\cap C)=P(\bar{A})\cdot P_{\bar{A}}(C)$

です。余事象を考えると $\displaystyle P(\bar{A})=1-P(A)=\frac{5}{6}$ です。

$P_{\bar{A}}(C)$ のほうは，まず事象 $\bar{A}$ が「大きいさいころの目が 4 でない」なので 30 通り。そのうち，和が 9 であるものは (3, 6), (5, 4), (6, 3) の 3 通りで， $\displaystyle P_{\bar{A}}(C)=\frac{1}{10}$ です。

したがって，

$\displaystyle P(\bar{A}\cap C)=P(\bar{A})\cdot P_{\bar{A}}(C)=\frac{5}{6}\cdot \frac{1}{10}=\frac{1}{12}$

となります。

さいころを 2 個投げる 1 回 1 回の試行は独立なので，それぞれの確率をかけて，求める確率は

$\displaystyle \frac{1}{36}\cdot \frac{1}{12}=\frac{1}{432}$

となります。

最後に「ABCが 1 回ずつ起きる」確率ですが，事象 B と C が排反（同時に起こり得ない）ことに注意すると，次の 4 つのパターンのみであることが導けます。

（ア）1 回目： $A\cap B$ ，2回目： $\bar{A}\cap C$

（イ）1 回目： $\bar{A}\cap C$ ，2回目： $A\cap B$

（ウ）1 回目： $A\cap C$ ，2回目： $\bar{A}\cap B$

（エ）1 回目： $\bar{A}\cap B$ ，2回目： $A\cap C$

つまり，B と C ，A と $\bar{A}$ の組合せになります。

（ア）と（イ），（ウ）と（エ）はそれぞれ順番が入れ替わっているだけなので，一方の確率を求めて後で 2 倍にすればいいです。(ア) は前半で求めたものですね。

$\displaystyle P\left( A\cap B\right) \cdot P\left( \bar{A}\cap C\right) =\frac{1}{432}$

（ウ）の確率は

$\displaystyle P\left( A\cap C\right) \cdot P\left( \bar{A}\cap B\right) = P\left( A\cap C\right) \cdot \left( P\left( \bar{A}\right) \cdot P_{\bar{A}}\left( B\right) \right) \\ \displaystyle = \frac{1}{36}\cdot \left( \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6}\right) \displaystyle =\frac{5}{36^2}$