2018年センター試験数学I・A を解いてみたその3【第1問〔3〕】

第3回です。小問ひとつに記事ひとつのペースなので，先は長そうです。解くだけではなく解きながら考えたこととか，思いついたこととかをそのつど添えているので，ご了承ください。そういう意味では，もし需要があるとすれば試験を終えた受験生より，高1・2生や趣味程度に嗜みたい方向けだと思います。

それでは第1問〔3〕です。おなじみの文字定数入り2次関数ですね。正攻法で解いていきましょう。

手始めに頂点の座標です。 $f(x)$ の式を平方完成して，

$\displaystyle f(x)=ax^2 -2(a+3)x-3a+21 \\ \displaystyle =a\left( x-\frac{a+3}{a}\right) ^2 -\frac{(a+3)^2}{a}-3a-21$

となるので，頂点の $x$ 座標 $p$ は

$\displaystyle p=\frac{a+3}{a}=1+\frac{3}{a}$ です。

サ：1，シ：3 が入ります。

続いて， $0 \leqq x \leqq 4$ において最小値が $f(4)$ となるのは，下図（ア）の通り軸が定義域より右側にあるときです。

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よって $\displaystyle 4 \leqq 1+\frac{3}{a}$ であり，これを解いて $a \leqq 1$ となります。問題文冒頭の「 $a$ を正の実数」も合わせて $0 \lt a \leqq 1$ です。

ス：1 となりました。

ちなみに，軸が定義域内のときは最小値は $f(p)$ （上図イ），定義域より左側にあるときは $f(0)$ （上図ウ）です。 $a\gt 0$ なので軸 $\displaystyle x=1+\frac{3}{a}\gt 1$ となり，後者は今回除外されます。

と思ったら次の問題がその話でした。最小値が $f(p)$ ，つまり頂点となるのは $\displaystyle 0 \leqq 1+\frac{3}{a} \leqq 4$ のときです。 $\displaystyle 0 \leqq 1+\frac{3}{a}$ は $a\gt 0$ より成り立ち， $\displaystyle 1+\frac{3}{a} \leqq 4$ はすでに逆向きの不等式を上で解いているので， $1\leqq a$ はすぐに導けます。