万有引力に関するメモ - じゃおずにできた

質量 $m$ の物体が地上から十分な高さ $h$ から自由落下するとき，地上に衝突する直前の速さ $v$ は，地球の半径を $R$ ，地上での重力加速度を $g$ とするといくらになるか。ただし大気の影響は考えない。

（解）まず万有引力の法則から，地球（質量 $M$ ）上の質量 $m$ の物体（以下物体とよぶ）に働く重力は

$mg=G\frac{Mm}{R^2} .$

したがって

$GM=gR^2 .$

次に地球の中心から $r$ の距離にある物体がもつ万有引力による位置エネルギーは，基準点を無限遠方にとることにより

$\int^{r}_{\infty} G\frac{Mm}{x^2} \; dx = -G\frac{Mm}{r} .$

物体が地上 $h$ の高さ（すなわち地球の中心から $R+h$ の距離）にあるときと地上にある時との万有引力による位置エネルギーの差は，

$-G\frac{Mm}{R+h}-(-G\frac{Mm}{R})=\frac{mghR}{R+h} \; (\because \; GM=gR^2) .$

よって冒頭の問いにおいて，力学的エネルギー保存則より，地表への衝突直前においては次の式が成り立つ。

$\frac{1}{2} mv^2=\frac{mghR}{R+h}$

$\therefore \; v=\sqrt{\frac{2ghR}{R+h}} .$

落下するはじめの高さ $h$ が地球の半径 $R$ に比べて十分小さいとき，速さは $\sqrt{2gh}$ となり，自由落下，すなわち等加速度直線運動から導かれる式と一致する。

TeX表記はハテぶだとかなり崩れることがわかった（注1）。最後に，はやぶさ帰還にあたって日本の科学技術に敬意を表します。

注1:CodecogsというTeX数式画像生成ツールを読み込むことで，きれいな数式を表示させることに成功。