2018年センター試験数学II・B を解いてみたその4【第3問】

第 3 問からは数学 B の内容に入り，3 問中 2 問を選んで解くことになります。第 3 問が「数列」，第 4 問が「ベクトル」，第 5 問が「統計」です。

実際の問題は下記を参照してください。

大学入試センター試験（2018年度）問題・解答速報 - 毎日新聞

第 3 問

(1) は等差数列 $\{ a_{n}\}$ ，(2) は等比数列 $\{ b_{n}\}$ についての問題です。いずれも部分和から一般項を求め，さらに和を求めるという基本的な知識が試される問題です。

(1)

条件からそれぞれ式を作っていきましょう。初項を $a$ ，公差を $d$ とおくと，「第 4 項が 30」は

$a+3d=30$ …①

と表せます。また，「初項から第 8 項までの和が 288」とのことなので，和の公式を用いて

$\displaystyle \frac{8}{2}(2a+7d)=288, \; 2a+7d=72$ …②

と表せます。①×2－② より $d=12, \; a=-6$ すなわち初項が－6，公差が 12 とわかります。一般項は

$\displaystyle a_{n}=12n-18$

となります。また，初項から第 n 項までの和 $\displaystyle S_{n}$ は

$\displaystyle S_{n}=\frac{n}{2}(-6+12n-18)=6n^2 -12n$

です。

(2)

初項を $b$ ，公比を $r$ とおくと，「第 2 項が 36」は

$\displaystyle br=36$

と表せます。また，「初項から第 3 項までの和が 156」は

$\displaystyle b+br+br^2 =156$

です。和の公式で

$\displaystyle \frac{b\left( r^3 -1\right)}{r-1}=156$

$\displaystyle \frac{b(r-1)\left( r^2 +r+1\right)}{r-1}=156$

$\displaystyle b\left( r^2 +r+1\right) =156$

と表してもよいですが，手間がかかるので初めから 3 項分を書き並べてしまうのがよいでしょう。この式に r をかけると

$\displaystyle br+br^2 +br^3 =156r$

$\displaystyle br=36$ を代入して

$\displaystyle 36+36r+36r^2 =156r$

$\displaystyle 36r^2 -120r+36=0$

という 2 次方程式式に帰着できます。はじめに r をかけるなんてことをしましたが，思いつかなくても先に $\displaystyle br=36$ を代入して整理していると，分母に r が出てきて必然的に r をかけて消すことになるので大丈夫です。

さて，方程式を解いて

$\displaystyle 3r^2 -10r+3=0$

$\displaystyle (3r-1)(r-3)=0$

公比 r は 1 より大きいという条件があるので， $r=3, \; b=12$ ，すなわち初項が 12，公比が 3 です。一般項は

$\displaystyle b_{n}=12\cdot 3^{n-1}$

となります。初項から第 n 項までの和 $\displaystyle T_{n}$ は

$\displaystyle T_{n}=\frac{12\left( 3^{n}-1\right) }{3-1}=6\left( 3^{n}-1\right)$

です。

(3)

さきの 2 つの数列を使って，新たな数列 $\displaystyle \{ c_{n}\}$ を定義しています。この数列の一般項を求める問題ですが，定義式に $\displaystyle \sum$ があります。すなわち和を用いた数列なので， $\displaystyle S_{n}$ から一般項を求めるときのように，「隣接項との差をとる」という方法が類推できると，見通しがよくなります。誘導でも，階差数列 $\displaystyle d_{n}=c_{n+1}-c_{n}$ を作って考察が進んでいきます。

実際に様子を見てみましょう。

$\displaystyle c_{n+1}=(n+1)\left( a_{1}-b_{1}\right) +n\left( a_{2}-b_{2}\right) +\cdots +2\left( a_{n}-b_{n}\right) +\left( a_{n+1}-b_{n+1}\right)$

となるわけですが，この式から $\displaystyle c_{n}$ を引いたのが $\displaystyle d_{n}$ です。項（a, b の添え字の同じパーツ）ごとに引き算してみましょう。

f:id:tak119:20180207185421j:plain

そろえて書いてみると，各 $\displaystyle \left( a_{k}-b_{k}\right)$ の項の係数が 1 つずつずれているのがわかります。 $\displaystyle c_{n+1}$ のほうがつねに 1 つ大きいので，引き算すると $\displaystyle \left( a_{k}-b_{k}\right)$ が 1 から n+1 まで並ぶことになり，

$\displaystyle d_{n}=\left( a_{1}-b_{1}\right) +\left( a_{2}-b_{2}\right) +\cdots +\left( a_{n}-b_{n}\right) +\left( a_{n+1}-b_{n+1}\right)$

$\displaystyle =\left(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}+a_{n+1}\right) -\left(b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{n}+b_{n+1}\right)$

$\displaystyle =S_{n+1}-T_{n+1}$

となります。

ここに (1), (2) で求めた和の式

$\displaystyle S_{n}=6n^2 -12n, \; T_{n}=6\left( 3^{n}-1\right)$

の n を n+1 に変えた

$\displaystyle S_{n+1}=6(n+1)^2 -12(n+1), \; T_{n}=6\left( 3^{n+1}-1\right)$

を代入して

$\displaystyle d_{n}=S_{n+1}-T_{n+1}$

$\displaystyle =6(n+1)^2 -12(n+1)-6\left( 3^{n+1}-1\right)$

$\displaystyle =6n^2 +12n+6-12n-12-6\cdot 3^{n+1}+6$

$\displaystyle =6n^2 -2\cdot 3\cdot 3^{n+1}$

$\displaystyle =6n^2 -2\cdot 3^{n+2}$

となって $\displaystyle d_{n}$ が n で表せました。また

$\displaystyle c_{1}=a_{1}-b_{1}=-6-12=-18$

なので， $\displaystyle c_{n}$ の一般項は階差数列を使った公式を用いて

$\displaystyle c_{n}=c_{1}+\sum^{n-1}_{k=1}d_{n}$

$\displaystyle =-18+\sum^{n-1}_{k=1}\left( 6n^2 -2\cdot 3^{n+2}\right)$

$\displaystyle =-18+\frac{6}{6}n(n-1)(2n-1)-\frac{54\left( 3^{n-1}-1\right)}{3-1}$

$\displaystyle =2n^3 -3n^2 +n+9-27\cdot 3^{n-1}$

$\displaystyle =2n^3 -3n^2 +n+9-3^{n+2}$

となります。これでようやく $\displaystyle c_{n}$ の一般項までたどり着けました。 n－1 項までの和であることに注意してください。特に等比数列の和の部分の 3 の指数に迷う人がいるかもしれませんが，k が 1 から n－1，すなわち項数が n－1 個なので，指数も $\displaystyle 3^{n-1}$ となります。