2018年センター試験数学II・B を解いてみたその3【第2問】

第 2 問微積分です。計算量も多く，正確な計算力が求められます。

実際の問題は下記を参照してください。

大学入試センター試験（2018年度）問題・解答速報 - 毎日新聞

第 2 問〔1〕

主役の放物線は $C: y=px^2 +qx+r$ と，一般的な形です。 $p\gt 0$ とあるので下に凸ということだけは保証されています。その他，直線 $\ell : y=2x-1$ が点 A (1, 1) において接しているとう条件が与えられています。

(1)

直線と接点が出てきたので，案の定接線に関する問題です。今回は接線の方程式のほうがわかっているので，そこから放物線を決定していくことになります。

接線の傾きは，導関数に接点の x 座標を代入すれば求められます。 $y'=2px+q$ で，点 A (1, 1) における傾きは $2p+q$ です。直線 $\ell$ の傾きは 2 なので， $2p+q=2$ すなわち $q=-2p+2$ という関係式が導けます。

この時点で q を消去すると，

$C: y=px^2 +(-2p+2)x+r$ です。これが点 A (1, 1) を通るので座標を代入すると $1=-p+2+r$ となり， $r=p-1$ も導けました。

以上より，放物線 C は p のみを用いて

$C: y=px^2 +(-2p+2)x+p-1$

と表せます。この式をもとに次の (2) を解いていきます。

(2)

まず放物線 C，直線 $\ell$ ，直線 $x=v$ で囲まれた部分の面積を求めます。 $v\gt 1$ とあるので，接点より右側の部分ですね。

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素直に積分計算をしましょう。

$\displaystyle S=\int^{v}_{1}\left\{ px^2 +(-2p+2)x+p-1-(2x-1)\right\} dx$

$\displaystyle =\int^{v}_{1}\left( px^2 -2px+p\right) dx = p\left[ \frac{1}{3}x^3 -x^2 +x \right]^{v}_{1}$

$\displaystyle =\frac{p}{3}\left( v^3 -3v^2 +3v\right)-p\left( \frac{1}{3}-1+1\right)$

$\displaystyle =\frac{p}{3}\left( v^3 -3v^2 +3v-1\right)$

式はマークの形に合わせてあります。

もう 1 つ面積を求めさせられます。直線に囲まれた図形なので，積分で求める必要はありません。実際に図を書いてみると，台形であることが確かめられます。

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三角形を引く方法（A）でもいいですし，台形の面積の公式（B）で直接求めてもよいです。

（方法 A：底辺の左端が v の三角形から 1 の三角形を引く）

$\displaystyle \frac{1}{2}\left(v-\frac{1}{2}\right) (2v-1)-\frac{1}{2}\left( 1-\frac{1}{2}\right)\cdot 1=v^2 -v$

（方法 B：台形公式（上底＋下底）×（高さ）÷2）

$\displaystyle \frac{1}{2}\left\{1+(2v-1)\right\}(v-1)=v^2 -v$

ついでに積分でやってみると以下のようになります。

$\displaystyle \int^{v}_{1}(2x-1) dx =\left[x^2 -x \right]^{v}_{1}=v^2 -v$

本番ではそんなことしている場合ではないですが，小学校で習った面積の公式どうしのつながりや，それらの公式が積分の特殊な場合であることが実感できます。

ここで主役が $U=S-T$ になります。極値をとるところを調べるので，U を式で表して v で微分してみます。

$\displaystyle U=\frac{p}{3}-(p+1)v^2 +(p+1)v-\frac{p}{3}$

$\displaystyle \frac{dU}{dv}=pv^2 -2(p+1)v+p+1$

$v=2$ で極値をとるということは， $\displaystyle \frac{dU}{dv}$ の値が $v=2$ のとき 0 になるということなので，

$4p-4(p+1)+p+1=0, \; p-3=0$

よって $p=3$ となります。

次に $U=0$ となるときということですが，状況としては，放物線 C と x 軸，直線 $x=1$ ，直線 $x=v_{0}$ で囲まれた部分を直線 $\ell$ が 2 等分するとき，ということです。

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しかしここでは素直に $U=0$ を解けばよいです。 $p=3$ のとき $\displaystyle U=v^3 -4v^2 +4v-1$ で，これが 0 となるのは

$\displaystyle (v-1)\left( v^2 -3v+1\right) =0$

$\displaystyle v=1, \;\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$

$\displaystyle v\gt 1$ となるものを $\displaystyle v_{0}$ とし（マークはもうプラスだけになっていますが）

$\displaystyle v_{0}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$

となります。

さらに， $\displaystyle 1\lt v\lt v_{0}$ の範囲で U がどのように変化するかが問われています。これまでに導いた導関数や解いた方程式をもとに考察してみましょう。

いま求めた $\displaystyle U=0$ の解と，極値をとる $v=2$ に対して， $\displaystyle 1\lt 2\lt v_{0}$ であることから， $\displaystyle y=U(v)$ のグラフは下の図のようになります。

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このことから， $\displaystyle 1\lt v\lt v_{0}$ の範囲でグラフは x 軸よりも下にあるので， U はつねに負の値のみをとることがわかります。

このグラフから， $p=3$ のとき $v\gt 1$ における U の最小値もわかり（極小値が最小値となる）， $v=2$ のとき

$\displaystyle U=(2-1) (2^2 -3\cdot 2+1)=-1$

をとります。

第 2 問〔2〕

引き続いて面積に絡んだ微積分の問題ですが，〔1〕よりも一般的になっています。面積の条件から関数を決定しよう，という逆問題です。

問題文序盤の条件は後で詳しく見るとして，まずは一般的なことが問われています。「 $F(x)$ を $f(x)$ の不定積分とする」とき， $F'(x)=f(x)$ です。ここでも基本的な定義の知識が問われています。言葉でいえば，「不定積分と微分は逆の演算であるから，被積分関数の不定積分を微分すれば，被積分関数に戻る」というわけです。式で表せば

$\displaystyle F(x)=\int f(x) dx$ ならば $\displaystyle \frac{d}{dx}F(x)=f(x)$

です。どちらがとらえやすいかは人それぞれでしょう。

また， W ですが，これは問題文を読んで条件を確認しましょう。「曲線 $y=f(x)$ と x 軸，および 2 直線 $x=1,\; x=t$ で囲まれた図形の面積」とあります。ここで，「 $f(x)$ は $x\geqq 1$ の範囲でつねに $f(x)\leqq 0$ 」と，「 $t\gt 1$ 」に注意して，位置関係を図で表すと